Table des matières

Chapitre 0. Introduction 3

Première partie. Géométrie algébrique 7

Chapitre I. La compactification de Larsen 9 1. Introduction 9 2. Rappels sur le type d’un module avec action de O 12 3. L’espace de modules des M-structures de niveau N. 13 4. Construction du bord 17 5. Compactifications et corollaires 25

Chapitre II. Relèvement des formes modulaires de Picard 35 1. Introduction 35 2. Formes modulaires sur M_{N} 36 3. Comparaison avec la théorie analytique sur ℂ. 48 4. Le changement de base pour les formes modulaires de Picard 53 5. Application : construction d’un analogue de l’invariant de Hasse 59

Chapitre III. Mauvaise réduction des surfaces modulaires de Picard 63 1. Introduction 63 2. Préliminaires 63 3. Définition du modèle entier des surfaces modulaires de Picard iwahoriques 67 4. Étude infinitésimale du modèle entier M_{Γ_{0}(p)}^{N} 71 5. Géométrie du modèle entier M_{Γ_{0}(p)} 92 6. Mauvaise réduction des surfaces modulaires de Picard avec structure de

niveau parahorique en une place déployée 96 7. Modèle canonique 100

Deuxième partie. Théorie des groupes 105

Chapitre IV. Module universel en caractéristique l ≠ p pour un groupe de

rang un 107

1. Introduction 107 2. Quelques rappels et définitions sur les actions transitives et 2-transitive 111 3. Cas des arbres homogènes 113 4. Cas des arbres bihomogènes 128 5. Module universel, et algèbre de Hecke 148 6. Module universel et série principale non ramifié 153 7. Compléments sur l’algèbre de Hecke-Iwahori 155 Chapitre V. Module universel pour GL_{3} (avec Ania Otwinowska) 165

1. Introduction 165 2. Traduction en un problème sur l’immeuble de G 166 3. Preuve du théorème 168

Chapitre VI. Variations sur un lemme de Ribet 183 1. Introduction 183 2. La méthode de Serre pour démontrer le lemme de Ribet 185 3. Le cas n = 3 188 4. Preuve du théorème 1.2.5 201

Chapitre VII. Augmentation du niveau 209 1. Introduction et notations 209 2. Preuve du théorème 1.4.6 218 3. Preuve du théorème 1.5.3 226

Chapitre VIII. Une construction automorphe d’extensions de caractères

galoisiens 239

1. Introduction 239 2. Construction d’une représentation endoscopique de G 248 3. Augmentation du niveau de π 253 4. Représentations galoisiennes associées 256 5. Élimination des extensions parasites 262 6. Fin de la preuve 264

Bibliographie 265

CHAPITRE 0 Introduction

Les congruences entre formes automorphes, et leur conséquence pour la théorie des représentations galoisiennes sont le thème central de cette thèse. Son objectif principal est de développer une nouvelle méthode pour obtenir des extensions non triviales de représentations galoisiennes, lorsque celles-ci sont prévues par des conjectures à la Bloch-Kato.

Cet objectif est atteint au huitième et dernier chapitre dans un cas particulier, mais nous pensons que cette méthode a une portée beaucoup plus générale.

Cette méthode repose sur des congruences entre formes automorphes cuspidales stables et formes automorphes cuspidales endoscopiques^{1}. De telles congruence sont obtenues, sous des hypothèses adéquates, grâce aux formules de multiplicités endoscopiques prévues par la conjecture d’Arthur, et à des résultats d’augmentation du niveau. Nous renvoyons à l’introduction du chapitre VIII (et spécialement à VIII.1.2.2 et VIII.1.2.3) pour un exposé détaillé de cette méthode.

Le cadre principal de cette thèse est le groupe unitaire quasi-déployé à trois variables U(2, 1), ses formes sur ℚ, et les variétés de Shimura qui leur sont associées. Pourquoi s’intéresser spécialement à ce groupe? Comme le dit Langlands^{2}, il offre “a coherent account of all pertinent techniques [for the general case] in a context that is simple as possible and, yet, in which, as far as one can see, all difficulties arise, even though in mitigated forms.” En ce qui concerne notre méthode, il nous faut un groupe avec de l’endoscopie (ce ne sera donc pas GL_{2}), pour lequel les conjecture d’Arthur sont démontrées, et aux représentations automorphes duquel on sait associer des représentations galoisiennes. Cela laisse peu de choix pour le moment, et le groupe U(2, 1) qui vérifie ces conditions grâce au travail de Rogawski ([RO1], [RO3]), de Blasius-Rogawski ([BL-RO1]), et de tous les auteurs de [ZFPMS], est certainement le plus simple.

Si la mise en œuvre de cette méthode s’appuie sur un certain nombre de résultats obtenus tout au long de cette thèse, elle n’en est pas l’unique objectif, et la plupart des résultats obtenus ici sont (du moins nous l’espérons) d’un intérêt indépendant. Ils concernent d’ailleurs souvent d’autres groupes que U(2, 1). Nous proposons donc maintenant un bref panorama^{3}, chapitre par chapitre, de cette thèse dont voici le leitfaden :

1. À la différence des méthodes employées habituellement, par exemple par Ribet ([Ri]), qui utilisent des congruence entre formes cuspidales et formes d’Eisenstein.

2. cf. [ZFPMS] page ix 3. Le lecteur est invité à consulter les introductions de chaque chapitre pour de plus amples détails.

\xymatrix{ & I \ar[d] \ar[dl] &  & IV \ar[d] \ar[dr] \\ II & III \ar[dr] & VI \ar[d] & VII \ar[dl] & V \\  &  & VIII}

Nous avons divisé cette thèse en deux parties, cette division suivant les deux types très différents de méthodes utilisées. La première se compose des trois premiers chapitres et traite essentiellement de la géométrie des variétés de Shimura associées aux groupes unitaires U(2, 1), variétés encore appelées surfaces modulaires de Picard.

Le chapitre I est principalement constitué de rappels : la compactification arithmétique des surfaces modulaires de Picard était l’objet de la thèse de Larsen ([L1]). Nous la reprenons ici, ce qui nous permet de corriger quelques inexactitudes et de donner quelques compléments utiles.

Au chapitre II, nous analysons les contreparties arithmétiques des notions et résultats classiques concernant les formes modulaires de Picard analytiques^{4} (principe de Köcher, développement de Fourier-Jacobi, etc.), et nous démontrons un théorème de relèvement, qui affirme essentiellement que toute forme modulaire de Picard modulo l se relève en caractéristique zéro, et qu’elle se relève en une forme parabolique si elle l’était modulo l. Ce résultat relève du thème “congruences entre formes modulaires” puisqu’il affirme par exemple que si une série d’Eisenstein, convenablement normalisée pour être à coefficient entiers algébriques, a un terme constant divisible par l, elle est congrue à une forme parabolique modulo l. Il devrait avoir des conséquences arithmétiques, mais nous ne les explorons pas ici.

Le troisième chapitre est consacrée à l’étude de la mauvaise réduction de certaines surfaces modulaires de Picard. Nous construisons des modèles entiers canoniques, et étudions leurs singularités à l’aide du théorème de Grothendieck-Messing en cohomologie cristalline. L’un des cas traité sera utilisé au chapitre VIII pour contrôler la ramification de certaines représentations galoisiennes.

La deuxième partie rassemble les cinq chapitres suivants qui relèvent de la théorie des groupes et de celles des formes automorphes.

Dans le chapitre IV qui relève de la théorie modulaire des représentations des groupes algébriques, nous étudions (à la suite de [S2], [LAZ1]) le “module universel”, défini comme l’objet initial dans la catégorie des représentations non ramifiées du groupe correspondant à un caractère donné de l’algèbre de Hecke non ramifiée.

4. Autrement dit, les formes automorphes holomorphes pour U(2, 1). Nous nous limitons d’ailleurs aux formes à valeurs scalaires.

Nous déterminons complètement^{5} la structure de G-représentation de ce module universel pour tous les groupes p-adiques de rang un, en toute caractéristique l, et nous démontrons les théorèmes de comparaison avec les séries principales non ramifiées attendus.

Le chapitre V est un travail commun avec Ania Otwinowska. Nous y démontrons, dans le cas du groupe GL_{3}, la conjecture de Lazarus, qui affirme la platitude du module universel pour un groupe p-adique sur n’importe quelle k-algèbre A, où k est un corps de caractéristique différente de p, et même des résultats un peu plus précis (par exemple le même énoncé pour A anneau quelconque). Nous espérons que nos méthodes, qui reposent sur la combinatoire de l’immeuble de Bruhat-Tits associé au groupe considéré, permettront de montrer dans un proche avenir cette conjecture pour GL_{n}, voire pour tout groupe réductif.

Dans le chapitre VI, nous généralisons au cas d’une représentation de dimension finie n quelconque un résultat simple (mais crucial pour obtenir des extensions de représentations galoisiennes) de [Ri], qui traite le cas n = 2. Dans le cas n = 3, qui est le cas que nous utiliserons au chapitre VIII, nous donnons des informations beaucoup plus précises, qui permettront, dans les applications, de contrôler la ramification des extensions obtenues.

Le chapitre VII est consacré à la preuve de deux résultats d’augmentation du niveau. Le premier concerne l’augmentation du niveau en une place de rang un : notre résultat concerne tous les groupes qui ont une telle place, que celle-ci soit ramifiée ou non, et est valable en toutes les caractéristiques banales (cf. [CL]), ainsi que certaines caractéristiques non banales. Il s’appuie lourdement sur les résultats du chapitre IV. Le second résultat concerne l’augmentation du niveau en une place où le groupe est GL_{3}, donc de rang (modulo le centre) égal à deux. Nos résultats sont moins complets que dans le cas de rang un, mais ils sont cependant cruciaux pour les applications arithmétiques du chapitre suivant.

Enfin, au chapitre VIII nous construisons des extensions de caractères galoisiens modulo l. Pour une description de la méthode et des résultats, nous renvoyons à ce chapitre.

5. En fait, à une petite exception près

6 0. INTRODUCTION

Première partie

Géométrie algébrique

CHAPITRE I La compactification de Larsen

1. Introduction

1.1. Les champs M_{N} et leurs compactifications.

1.1.1. Les variétés de Shimura associées aux formes quasi-déployées du groupe unitaire à trois variables, et leurs compactifications arithmétiques sont des objets centraux dans cette thèse.

Plus précisément, soit O un anneau d’entiers quadratiques imaginaires, de discriminant D, et de corps de fractions K.

On peut associer à O une forme entière du groupe algébrique dont les points réels sont U(2, 1)(ℝ) (voir 3.2.1). Si Γ désigne le groupe des points entiers de cette forme U(2, 1)(ℤ), et plus généralement si Γ(N) désigne le groupe des points de Γ qui se réduisent en l’identité dans U(2, 1)(ℤ/Nℤ), et si K_{∞} est un compact maximal de U(2, 1)(ℝ), alors on peut considérer la variété de Shimura – appelée dans ce cas surface modulaire de Picard :

Γ(N)\U(2, 1)(ℝ)/K_{∞}, (1)

que nous noterons dans cet article M_{N}^{0}(ℂ). C’est une surface algébrique connexe, qui est une composante connexe d’une variante adélique M_{N}(ℂ) (voir 3.1.2 pour la définition précise).

1.1.2. La variété M_{N}(ℂ) s’interprète comme l’ensemble des points complexes d’un espace de modules M_{N,ℂ} paramétrant des variétés abéliennes de dimension 3 à multiplication par O, munies de structures additionnelles soumises à certaines conditions de compatibilités. Ces objets, dont la définition précise est donnée au paragraphe 3.2.2, s’appellent M-structures de niveau N.

En fait, la notion de M-structures de niveau N garde un sens sur un schéma S beaucoup plus général que Spec ℂ: on peut la définir dès que S est muni d’un morphisme vers Spec O[1/DN]. On peut donc aussi considérer le problème de modules consistant à classifier les M-structures de niveau N sur cette base, et on obtient ainsi un champ algébrique, encore noté M_{N}, qui est un modèle sur Spec O[1/DN] du champ M_{N,ℂ} défini précédemment.

1.1.3. On dispose, sur ℂ, depuis [A-M-R-T], d’un procédé de compactification (dite toroïdale) des variétés de Shimura. En général, cette compactification n’est pas unique, mais dépend d’un choix de nature combinatoire. Dans le cas de U(2, 1) qui nous intéresse, il n’y a qu’un seul choix possible, si bien que la compactification toroïdale de M_{N,ℂ} est canonique.

1.1.4. Un des problèmes les plus importants de la théorie des variétés de Shimura depuis plus de trente ans a été la recherche d’analogues arithmétiques des compactifications toroïdales des variétés de Shimura, fournissant des modèles sur des anneaux d’entiers (comme Spec O[1/DN]) des compactifiactions obtenues sur ℂ par des méthodes transcendantes.

La premier résultat dans cette direction a été la compactifiaction arithmétique des courbes modulaires X(N) par [D-R] (variétés de Shimura associés à SL_{2} sur ℚ). Peu après, Rapoport a obtenu des compactifications arithmétiques pour les variétés de Hilbert-Blumenthal. Le principal progrès a ensuite été obtenu par [C-F], qui fournissent, aux débuts des années 90, une compactification arithmétique des variétés modulaires de Siegel (variétés de Shimura associés aux groupes symplectiques), et des outils pouvant s’appliquer à beaucoup d’autres cas.

1.1.5. Le cas des surfaces modulaires de Picard a fait l’objet, à la même époque, de la thèse de M. Larsen, un élève de Faltings. Larsen obtient une compactification lisse canonique M̃_{N} de M_{N}, définie sur la même base Spec O[1/DN]. Les résultats de Larsen ont été utilisés plusisurs fois depuis. En particulier, ils sont l’un des fondements du gros livre [ZFPMS].

1.2. Pourquoi revenir sur le travail de Larsen? Pour trois raisons : 1.2.1. Les résultats de Larsen se trouvent dans [L1] (pages 34-35 pour le cas

N = 1, i.e. “sans structures de niveau”, pages 42-43 en général) qui constitue le deuxième chapitre du livre [ZFPMS]. Les preuves sont données dans la première (et plus grande) partie de sa thèse [L2].

Le premier problème est que les résultats énoncés dans [L1] laissent en suspens plusieurs questions naturelles, et ne sont souvent pas assez précis pour permettre de se servir, dans les applications, de la compactification de Larsen comme d’une “boîte noire”, en évitant d’avoir recours aux détails de la construction.

Par exemple, le principal théorème affirme qu’il existe une compactification lisse M̃ de M = M_{1}, à laquelle s’étend comme groupe algébrique G la variété abélienne universelle sur M, et que le bord D = M̃ − M est un champ propre et lisse de codimension 1, dont l’espace grossier associé est une union de courbes elliptiques.

Mais on aimerait bien savoir si la multiplication complexe dont dispose la variété universelle sur M s’étend à G; à quoi ressemble, précisément le bord D et pas seulement son espace grossier associé ; et ce qu’on peut dire du groupe G (et de sa multiplication complexe) restreint au bord D.

Dans le cas des structures de niveau, on aimerait disposer d’informations sur les morphismes “d’oublis” reliant les différentes compactifications M̃_{N} pour différents N.

Enfin, mais il est vrai plus par commodité que par véritable nécessité, on aimerait bien savoir que M̃_{N} est un schéma projectif pour N ≥ 3, et pas seulement “un espace algébrique pour N suffisament grand”, ([L1], page 43)

1.2.2. Le second problème est que, tout insuffisants qu’ils soient, les résultats de [L1] ne sont pas tous prouvés dans [L2]. Du théorème principal page 34, on ne trouve de preuve que pour les affirmations 1 et 2. Pour le cas N ≥ 2, il n’y a rien dans [L2].

1.2.3. Enfin, le troisième problème est que tous les théorèmes énoncés dans [L1] sont inexacts. C’est le cas des résultats avec structures de niveau N ≥ 2 où la définition choisie empêche déjà que M_{N} soit un champ. C’est aussi le cas du théorème sur la compactification minimale, page 35, qui impliquerait que M est un schéma. Et surtout c’est le cas du théorème principal, page 42 : les composantes de l’espace grossier associé au bord D sont des droites projectives et non des courbes elliptiques.

Il n’est pas possible de déterminer où précisément se situe l’erreur dans la preuve de ce point, puisque cette preuve n’existe pas, mais, psychologiquement, le coupable est certainement le lemme de la page 9 de [L2], qui est faux.

1.3. Que trouvera-t-on dans ce chapitre ? Les remarques qui précèdent nous semblent justifier la décision de reprendre, de manière assez détaillée, la construction de la compactification de Larsen M̃_{N} de M_{N}. Néanmoins l’essentiel du travail de [L2] est correct (en particulier le noyau dur de la construction, pages 16-23) et nous ne voyons pas l’utilité de le paraphraser. Les preuves dans ce chapitre ne seront donc pas self-contained, mais constitués de références précises à des arguments de [L2] et des nouveaux arguments nécessaires pour les compléter.

Cependant, nous avons fait en sorte que ce chapitre soit self-contained pour un lecteur qui voudrait prendre la compactification comme une boîte noire, c’est-à-dire que nous donnons toutes les définitions nécessaires pour comprendre les énoncés des théorèmes.

1.4. Notations. On fixe une fois pour toutes un corps de nombres quadratique imaginaire K = ℚ(\sqrt{−d}) et une racine carrée de −d dans K, que l’on note \sqrt{−d}. On note O l’anneau des entiers de K, et D son discriminant.

On utilisera aussi le corps de classes K′ de K, et on travaillera souvent sur l’anneau O_{K′}[1/D]. On notera C_{K} le groupe de classes de K, et h l’ordre de C_{K}, i.e. le degré de l’extension K′/K.

Plus généralement, N étant un entier strictement positif, on définit K′_{N} comme le “corps de classes de rayons” de K de conducteur N ([Si], II.3.2), et on pose R_{N} = O_{K′_{N}} [1/DN]. Ainsi, si N = 1, on a K′_{1} = K′ et R_{1} = O_{K′}[1/D].

Enfin, O^{∗} désignera comme d’habitude le groupe multiplicatif des éléments inversibles de O, isomorphe à ℤ/4ℤ (resp. ℤ/6ℤ, ℤ/2ℤ) si K = ℚ(i) (resp. ℚ(j), resp. un autre corps quadratique imaginaire).

Par ailleurs, on utilisera librement les notions d’espaces algébriques (voir [KN]) et de champs algébriques (pour lesquels notre référence est [L-MB])

2. Rappels sur le type d’un module avec action de O

Les notions de type d’un module localement libre nécessaires pour formuler correctement les problèmes de modules associés aux variétés de Shimura peuvent présenter des subtilités (voir [KO]). Dans notre cas, où nous travaillons avec un anneau d’entiers quadratiques, en rejetant les places ramifiées, la notion ne présente aucune difficulté. Par souci de complétude, nous prenons néanmoins le temps d’en rappeler la définition :

Soit R une algèbre sur O[1/D]. Soit M un module sur R avec action de O, i.e. muni d’un morphisme d’anneaux

i : O → End_{R}(M).

Écrivons O = ℤ[τ], avec τ = \sqrt{−d} si d n’est pas congru à −1 modulo 4 et τ = (1 + \sqrt{−d})/2 si d = 4d′ − 1.

Le morphisme i est déterminé par l’endomorphisme J = i(τ). On a J^{2} = −d dans le premier cas, J^{2} = J − d′ dans le second cas.

Dans le premier cas, notons que le polynôme X^{2} + d a deux racines distinctes dans R, \sqrt{−d}, et −\sqrt{−d}, qu’on désigne respectivement par α et ᾱ. De même, dans le second cas, le polynôme X^{2} − X + d′ a deux racines distinctes (1 + \sqrt{−d})/2, et (1 − \sqrt{−d})/2, qu’on appelle aussi α et ᾱ.

Notons que dans les deux cas, ᾱ−α est inversible dans R et on peut donc écrire, pour tout x dans M :

x = (ᾱ − α)^{−1}((J − α)x − (J − ᾱ)x).

Or (J − α)x ∈ Ker (J − ᾱ) et (J − ᾱ)x ∈ Ker (J − α), et donc

M = Ker (J − α) + Ker (J − ᾱ).

La somme est directe : si x est à la fois dans Ker (J − α), et dans Ker (J − ᾱ), on a (α − ᾱ)x = 0 d’où x = 0.

Dans les deux cas, on a donc une décomposition :

M = Ker (J − α) ⊕ Ker (J − ᾱ).

On pose M^{+} = Ker (J − α) et M^{−} = Ker (J − ᾱ). Les deux sous-modules M^{+} et M^{−} sont stables par O, et pour c ∈ O, on a

i(c)x = cx si x ∈ M^{+},
i(c)x = c̄x si x ∈ M^{−}.

Si M est localement libre de type fini (de rang n), alors ses facteurs directs M^{+} et M^{−} le sont aussi; on note p et q leur rang, on a bien sûr p + q = n, et on définit le type de M comme le couple (p, q).

Plus généralement, si S est un schéma sur Spec O[1/D], et 𝔽 un faisceau cohérent localement libre sur S, muni d’une O-action, on dira que 𝔽 est de type (p, q) si, pour tout ouvert affine Spec A de S, H^{0}(Spec A, 𝔽) est de type (p, q). Il découle

���

3. L’ESPACE DE MODULES DES M-STRUCTURES DE NIVEAU N. 13

facilement de ce qui précède que si S est connexe, tout faisceau cohérent localement libre avec action de O est bien d’un type (p, q) et d’un seul.

Enfin, si G est un schéma semi-abélien sur S muni d’une action i de O, le faisceau localement libre Lie(G/S) = e^{∗}Ω_{G/S}^{⊗−1} hérite naturellement de l’action de O, et son type, s’il existe, sera appelé le type de (G, i).

3. L’espace de modules des M-structures de niveau N.

3.1. M-structures.

3.1.1.

Définition provisoire. Soit S un schéma sur Spec O[1/D]. On appelle Mstructure sur S un triplet (A, ϕ, i) où A est un schéma abélien sur S, de dimension relative 3, ϕ une polarisation principale de A, et i un morphisme d’anneaux de O dans End_{S}(A), tels que

– (1) Le schéma en groupe A sur S est de type (2, 1).

– (2) L’involution de Rosati associée à ϕ agit comme la conjugaison complexe sur i(O).

3.1.2. Soit l un nombre premier, S un schéma au-dessus de O[1/Dl], et (A, ϕ, i) une M-structure sur S.

Le module de Tate T_{l}(A), défini comme la limite projective sur n des groupes finis A(s̄)[l^{n}] (où s̄ est n’importe quel point géométrique de S), est un module libre de rang 6 sur ℤ_{l} et hérite d’une action de O, qui en fait un O⊗_{ℤ}ℤ_{l} = O_{l}-module libre de rang 3. Il hérite par ailleurs, grâce à la polarisation ϕ, d’une forme ℤ_{l}-bilinéaire antisymétrique, à valeurs dans μ_{l^{∞}} (s̄) = ℤ_{l} (on suppose fixé un isomorphisme μ_{l^{∞}} ≃ ℤ_{l} sur s̄), notée q, ou < , >_{q}: l’accouplement de Weil.

D’après le point (2) de la définition 3.1.1, on a, pour tout α ∈ O, et pour tout x, y ∈ T_{l}(A),

< αx, y >_{q}=< x, ᾱy >_{q} (2)

Sur un tel module, la donnée d’une forme ℤ_{l}–bilinéaire antisymétrique non dégénérée q, vérifiant (2), équivaut à la donnée d’une forme O_{l}-hermitienne ψ_{q} non dégénérée, par la formule suivante :

ψ_{q}(x, y) = q(x, τy) − τ̄q(x, y). (3)

Ici τ désigne soit \sqrt{−d} soit (1 + \sqrt{−d})/2, de manière à ce que O = ℤ[τ] (cf. [L2], page 25).

Posons V_{0} = O^{3}, et munissons V_{0} de la forme q_{0}, ℤ-bilinéaire antisymétrique non dégénérée, vérifiant (2), telle que la matrice de la forme hermitienne associée

14  I. LA COMPACTIFICATION DE LARSEN ψ_{q_{0}} dans la base canonique soit : ( ^{1 0 0} 0 1 0 0 0 −1 ) . On pose de même V_{1} = O^{3}, qu’on munit de la forme q_{1} défini par ψ_{q_{1}} dont la matrice est :  ( ^{0 0 1} 0 1 0_{1 0 0} ) .

D’après ([L2], pages 25-26), ces deux modules symplectiques à multiplication par O deviennent isomorphes sur ℤ[1/2] :

(V_{0}, q_{0}) ⊗ ℤ[1/2] ≃ (V_{1}, q_{1}) ⊗ ℤ[1/2],

mais ils sont isomorphes sur ℤ si, et seulement si, le discriminant D de K est impair.

De plus, loc. cit, il existe un isomorphisme (de O_{l}-modules munis d’une forme ℤ_{l}-bilinéaire)

(T_{l}(A), q) ≃ (V_{0}, q_{0}) ⊗_{ℤ} ℤ_{l} (4)

ou

(T_{l}(A), q) ≃ (V_{1}, q_{1}) ⊗_{ℤ} ℤ_{l}. (5)

Bien sûr, d’après ce qui précède le ou est en fait un et si l ≠ 2 ou si D est impair, mais c’est un ou exclusif si l = 2 et D pair.

3.1.3. On est maintenant en mesure de donner une définition définitive d’une M-structure, en choisissant le type du module de Tate en l = 2. Un tel choix est nécessaire pour pouvoir interpréter l’espace de modules des M-structures comme un modèle d’une variété de Shimura (voir plus bas, proposition II.3.1.2).

Définition. Soit S un schéma sur O[1/D]. On appelle M-structure sur S un triplet (A, ϕ, i) où A est schéma abélien sur S, de dimension relative 3, ϕ une polarisation principale de A, et i un morphisme d’anneaux de O dans End_{S}(A), tels que

– (1) Le schéma en groupe A sur S est de type (2, 1).

– (2) L’involution de Rosati associée à ϕ agit comme la conjugaison complexe sur i(O)

– (3) Si D est pair, il existe un isomorphisme (de O_{2}-modules munis d’une forme hermitienne) de type (4):

(T_{2}(A), q) ≃ (V_{0}, q_{0}) ⊗_{ℤ} ℤ_{2}.

On privilégie donc (arbitrairement) la forme (V_{0}, q_{0}). Si l’on avait choisi (V_{1}, q_{1}), rien d’essentiel ne serait changé dans la suite – il faudrait seulement faire attention a quelques détails, comme la preuve du lemme 4.3.3